Kan man lade et tal nærme sig nul?
Differenskvotient og differentialkvotient
Når man differentierer en funktion, bestemmer man tangenthældningen i et specifikt punkt. Den hældning, som man finder, benævnes differentialkvotienten i punktet.
Men hvordan bestemmes tangenthældningen i ét punkt?
Vi ved fra c-niveau, hvordan man finder hældningen af en ret linje, hvis man kender to punkter på linjen. Det gøres ved at dividere ændringen af y-værdierne med ændringen af x-værdierne (læs mere her).
Vi begynder på samme måde, når vi skal finde hældningen i ét punkt. Hvis vi ønsker at bestemme hældningen i punktet (x0, f(x0)), så starter vi med at gå et stykke, h, hen ad x-aksen og indtegner punktet (x0+h, f(x0+h)). Vi kan tegne sekanten, s, gennem de to punkter.
Vi kan udregne hældningen af sekanten som
$$a_s=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
Man kan også notere det som
$$a_s=\frac{\Delta y}{h}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
Man kalder sekanthældningen for differenskvotienten. Differenskvotienten er således funktionstilvæksten divideret med h. Navnet stammer fra, at der er tale om en kvotient (en brøk), hvor tælleren er differencen mellem funktionsværdierne.
Differentialkvotient
Hvis man nu gør h mindre, så nærmer hjælpepunktet sig vores faste punkt, og så vil sekanten komme til at ligne tangenten mere og mere.
Herunder er indtegnet tangenten (blå) og tre sekanter (røde) lavet ud fra forskellige h-værdier.
Hvis vi lader h blive uendelig lille, så vil sekanten nærme sig tangenten. Det er det, der er tricket i differentialregning!
Vi finder differenskvotienten, og så ser vi, hvad der sker, når h bliver uendelig lille. Det resultat, vi får, kalder vi differentialkvotienten, og det svarer til tangentens hældning.
Man siger, at differentialkvotienten er grænseværdien af differenskvotienten for h gående mod 0.
$$a_t=\lim_{h\to0}(a_s)=\lim_{h\to0}(\frac{\Delta y}{h})$$
Man skriver også ofte differentialkvotienten i x0 som
$$f'(x_0)$$
Dette læses "f mærke x0"
Eksempel
Vores funktion er f(x)=x2+3. Vi ønsker at finde differentialkvotienten når x0=4
Først finder vi funktionstilvæksten
$$f(4+h)=(4+h)^2+3=(\underbrace{16+h^2+8h}_{kvadratsætning})+3=h^2+8h+19$$
$$f(4)=4^2+3=16+3=19$$
$$\Delta y=f(4+h)-f(4)=(h^2+8h+19)-19=h^2+8h$$
Så finder vi differenskvotienten (dvs. sekanthældningen)
$$a_s=\frac{\Delta y}{h}=\frac{h^2+8h}{h}=\frac{h(h+8)}{h}=h+8$$
Så ser vi, hvad der sker, når h bliver uendeligt lille. Lige meget, hvor lille h bliver, så vil der ikke ske noget med 8-tallet. Men da h bliver meget lille, vil det til sidst være så småt, at det er helt ubetydeligt.
$$a_t=\lim_{h\to0}(a_s)=\lim_{h\to0}(h+8)=8$$
Altså er differentialkvotienten
$$f'(4)=8$$
Det vil sige, at tangenten til f i punktet (4, f(4)) har en hældning på 8.