Hvordan fastlægger jeg, hvad der skal omfattes af parenteser
Parentesernes rolle
For at fravige den gængse rækkefølge af matematiske operationer anvender man parenteser.
Normalt udføres multiplikation og division før addition og subtraktion.
$$5+3\cdot2=5+6=11$$
Men hvis additionen ønskedes udført først, skulle der have været anvendt parenteser for at signalere dette brud på den normale operationsrækkefølge.
$$(5+3)\cdot2=8\cdot2=16$$
Man kan observere, at forskellige resultater opnås, hvilket understreger parentesernes betydning for at opnå den korrekte fortolkning. Vi husker ligeledes, at potensopløftning foregår før multiplikation, så et yderligere eksempel på anvendelse af parenteser er, når man ønsker at tilsidesætte denne regel og i stedet multiplicere før potensopløftning.
$$4\cdot3^2=4\cdot9=36$$
$$(4\cdot3)^2=12^2=144$$
Dette aspekt er især afgørende, når man arbejder med negative tal.
$$-3^2=-1\cdot3^2=-1\cdot3\cdot3=-9$$
$$(-3)^2=(-3)\cdot(-3)=9$$
Derfor fremkommer et forskelligt fortegn, afhængigt af hvorvidt parentesen er til stede eller ej. I det første tilfælde opløftes tallet til anden potens, hvorefter fortegnet placeres foran. I det andet tilfælde opløftes det negative tal selv til anden potens.
Multiplikation af led med en parentes
Ved multiplikation af et tal med en parentes anvendes den distributive lov, som postulerer, at
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c$$
Et illustrativt eksempel kunne være:
$$5\cdot(2+x)=5\cdot2+5\cdot x=10+5x$$
Når et tal multipliceres ind i en parentes, skal det ganges med hvert enkelt led, dvs. hver komponent adskilt af et plus- eller minustegn.
$$ {\color{Red} 2}\cdot(5+4-3\cdot x+8\cdot y)$$
$$={\color{Red} 2}\cdot5+{\color{Red} 2}\cdot4+{\color{Red} 2}\cdot(-3\cdot x)+{\color{Red}2}\cdot8\cdot y$$
$$=10+8-6x+16y$$
Det skal bemærkes, at når vi har et produkt (flere tal ganget sammen), ganges der kun én gang og ikke på hver enkelt faktor i produktet. Et eksempel herpå kunne være nedenstående,
$$ 2 \cdot (3 \cdot 5)=30$$
Her multipliceres 3 med 5, og resultatet af denne multiplikation ganges derefter med 2. Der foretages altså ikke en multiplikation af 2 med både 3 og 5 separat, men derimod med selve produktet af de to tal.
Multiplikation af to parenteser indbyrdes
Når to parenteser ganges med hinanden, skal hvert element fra den første parentes multipliceres med hvert element i den anden parentes.
$$(a+b)(x+y)=\underbrace{a\cdot x+a\cdot y}_{a\:multipliceret\:ind\:i\:anden\:parentes}+\underbrace{b\cdot x+b\cdot y}_{b\:multipliceret\:ind\:i\:anden\:parentes}=ax+ay+bx+by$$
Et illustrativt eksempel kunne være:
$$(3+x)(5+y)=3\cdot5+3\cdot y+x\cdot5+x\cdot y=15+3y+5x+xy$$
Eller i tilfælde med negative tal:
$$(5-x)(3+y)=5\cdot3+5\cdot y+(-x)\cdot3+(-x)\cdot y=15+5y-3x-xy$$